Question

如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（0＜t≤2）左侧的图形的面积为f（t），则
（Ⅰ）函数f（t）的解析式为

 

；
（Ⅱ）函数y=f（t）的图象在点P（t₀，f（t₀））处的切线的斜率为

2 3

3

，则t₀=

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）结合图形，求出0＜t≤1时和1＜t≤2时满足条件的图形的面积，用分段函数表示f（t）的解析式；
（Ⅱ）由于函数的图象在点P处的切线的斜率为

2 3

3

，则解关于函数的导数为

2 3

3

方程，即可得到答案．

解答： 解：（Ⅰ）由图形知，
当0＜t≤1时，此时满足条件的图形面积为
f（t）=

1

2

•t•t•tan

π

3

=

3

2

t²；
当1＜t≤2时，此时满足条件的图形面积为
f（t）=

1

2

×2×1×tan

π

3

-

1

2

•（2-x）•（2-x）•tan

π

3

=

3

-

3

2

（t-2）²；
∴函数f(t)=

3 2 t2，0＜t≤1 - 3 2 (t-2)2+ 3 ，1＜t≤2

；
（Ⅱ）函数y=f（t）的图象在点P（t₀，f（t₀））处的切线的斜率为

2 3

3

，
则函数在点P（t₀，f（t₀））处的导数为

2 3

3

，
当0＜t≤1时，f（t）=

3

2

t²，则f′（t）=

3

t，
即f′（t₀）=

3

t₀=

2 3

3

，解得t₀=

2

3

；
当1＜t≤2时，f（t）=

3

-

3

2

（t-2）²，则f′（t）=-

3

（t-2），
即f′（t₀）=-

3

（t₀-2）=

2 3

3

，解得t₀=

4

3

，
故t₀=

2

3

或

4

3

．
故答案为：（Ⅰ）f(t)=

3 2 t2，0＜t≤1 - 3 2 (t-2)2+ 3 ，1＜t≤2

；（Ⅱ）

2

3

或

4

3

．

点评：本题考查了求函数的解析式以及利用导数求切线问题，解题时应结合图形，即可求出符合条件的解析式，是综合题目．