Question

已知函数f（x）=x²+（lga+2）x+lgb，f（-1）=-2，当x∈R时，f（x）≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f（x）的最小值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：把f（-1）=-2代入f（x）=x²+（lga+2）x+lgb，得到lgb=-1+lga，由f（x）≥2x，得x²+（lga+2）x-1+lga-2x≥0，然后利用判别式小于等于0列式求得a的值，得到f（x）的解析式，再利用配方法求得函数最小值．

解答： 解：f（x）=x²+（lga+2）x+lgb，由f（-1）=-2，得
（-1）²-lga-2+lgb=-2，即lgb=-1+lga，
∴f（x）=x²+（lga+2）x-1+lga，
由f（x）≥2x，得x²+（lga+2）x-1+lga-2x≥0，
即x²+xlga+lga-1≥0对x∈R恒成立，
则△=lg²a-4lga+4=（lga-2）²≤0恒成立．
∴lga-2=0，即lga=2，a=100；
此时f（x）=x²+4x+1=（x+2）²-3，f（x）的最小值为-3．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了对数的运算性质，考查了利用配方法求二次函数的值域，是中档题．