Question

根据下列条件，求圆锥曲线的标准方程．
（1）顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线；
（2）中心在坐标原点，焦点在坐标轴上且过点P（-2，0），Q（3，

5

2

）的双曲线．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程,双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意设出抛物线方程，再由顶点到准线的距离为4求得p值，则抛物线方程可求；
（2）由双曲线中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过点P（-2，0），可得a=2，由此设出双曲线方程为

x2

4

-

y2

b2

=1，把点Q（3，

5

2

）代入双曲线方程求得b的值，则双曲线方程可求．

解答： 解：（1）由题意可得抛物线方程为x²=2py 或x²=-2py．
又顶点到准线的距离为4，即

p

2

=4，∴p=8．
∴抛物线方程为：x²=16y 或x²=-16y；
（2）∵双曲线中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过点P（-2，0），
∴P为双曲线的一个顶点，则a=2，
由此可设双曲线方程为

x2

4

-

y2

b2

=1．
又双曲线过点Q（3，

5

2

），则

32

4

-

( 5 2 )2

b2

=1，解得：b²=5．
∴所求双曲线方程为

x2

4

-

y2

5

=1．

点评：本题考查了抛物线、双曲线的标准方程的求法，考查了抛物线与双曲线的简单几何性质，是基础题．