Question

已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x-3y+16=0，CA：2x+y-2=0，求：
（1）∠ABC的平分线所在的直线方程；
（2）AB与AC边上的中位线所在直线方程．

Answer 1

考点：两直线的夹角与到角问题

专题：直线与圆

分析：（1）由条件解方程组求得点B的坐标，根据一条直线到另一条直线的夹角公式求得，∠ABC的内角平分线所在直线的斜率k，用点斜式求得∠ABC的平分线所在的直线方程．
（2）求得点A的坐标，可得线段AB的中点D的坐标，再根据AB与AC边上的中位线所在直线的斜率等于BC的斜率

4

3

，用点斜式求得AB与AC边上的中位线所在直线方程．

解答： 解：（1）由

3x+4y+12=0 4x-3y+16=0

 求得

x=-4 y=0

，可得点B的坐标为（-4，0）．
设∠ABC的内角平分线所在直线的斜率为k，则

k-kBA

1+k•kBA

=

kBC-k

1+kBC•k

，即

k+ 3 4

1+(- 3 4 )•k

=

4 3 -k

1+ 4 3 k

．求得k=

1

7

，或k=-7．
由题意可得，∠ABC的内角平分线所在直线的斜率k应在BA、BC的斜率之间，故取k=

1

7

，
故∠ABC的平分线所在的直线方程为y-0=

1

7

（x+4），即 x-7y+4=0．
（2）由

3x+4y+12=0 2x+y-2=0

，求得

x=4 y=-6

，可得点A的坐标为（4，-6），故线段AB的中点D的坐标为（0，-3），
再根据AB与AC边上的中位线所在直线的斜率等于BC的斜率

4

3

，
故AB与AC边上的中位线所在直线方程为 y+3=

4

3

（x-0），即 4x-3y-9=0．

点评：本题主要考查求两条曲线的交点坐标的方法，一条直线到另一条直线的夹角公式，用点斜式求直线的方程，属于基础题．