Question

17．一个盒子里装有7个大小形状相同的球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球3个，编号分别为2，3，4．从盒子中任取3个球（假设取到任何一个球的可能性相同）．
（Ⅰ）求取出的3个球中，含有编号为2的球的概率；
（Ⅱ）求取出的3个球中，最大编号为3的概率；
（Ⅲ）在取出的3个球中，红色球的个数设为X，求随机变量X的分布列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设“取出的3个球中，含有编号为2的球”为事件A，由互斥事件加法概率计算公式能求出取出的3个球中，含有编号为2的球的概率．
（Ⅱ）设“取出的3个球中，最大编号为3”为事件B，由互斥事件加法概率计算公式能求出取出的3个球中，最大编号为3的概率．
（Ⅲ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列．

解答 解：（Ⅰ）设“取出的3个球中，含有编号为2的球”为事件A，则$P（A）=\frac{C_2^1C_5^2+C_2^2C_5^1}{C_7^3}=\frac{5}{7}$
所以取出的3个球中，含有编号为2的球的概率为$\frac{5}{7}$…（4分）
（Ⅱ）设“取出的3个球中，最大编号为3”为事件B，则$P（B）=\frac{C_2^1C_3^2+C_2^2C_3^1}{C_7^3}=\frac{9}{35}$
所以取出的3个球中，最大编号为3的概率为$\frac{9}{35}$…（8分）
（Ⅲ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
$P（X=0）=\frac{C_3^3}{C_7^3}=\frac{1}{35}$，
$P（X=1）=\frac{C_4^1C_3^2}{C_7^3}=\frac{12}{35}$，
$P（X=2）=\frac{C_4^2C_3^1}{C_7^3}=\frac{18}{35}$，
$P（X=3）=\frac{C_4^3}{C_7^3}=\frac{4}{35}$，
所以随机变量X的分布列是：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{4}{35}$

…（13分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．