Question

7．如图所示，等腰梯形ABCD的底边AB在x轴上，顶点A与顶点B关于原点O对称，且底边AB和CD的长分别为6和$2\sqrt{6}$，高为3．
（Ⅰ）求等腰梯形ABCD的外接圆E的方程；
（Ⅱ）若点N的坐标为（5，2），点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程，并指出其轨迹．

Answer 1

分析 （Ⅰ）确定四个顶点的坐标，根据对称性判断出E在y轴上，设其坐标，利用两点间的距离公式建立等式求得E的坐标和半径，则圆的方程可得．
（Ⅱ）设出P的坐标，表示出M的坐标代入圆E的方程，进而求得P的轨迹方程．

解答 解：（Ⅰ）设E（0，b），
由已知可得：$A（-3，0），B（3，0），C（\sqrt{6}，3），D（-\sqrt{6}，3）$，（2分）
由|EB|=|EC|得：${（3-0）^2}+{（0-b）^2}={（\sqrt{6}-0）^2}+{（3-b）^2}⇒b=1$，（4分）
∴圆E的圆心为E（0，1），半径为$r=\sqrt{10}$，
∴圆E的方程为：x²+（y-1）²=10．（6分）
（Ⅱ）设P（x，y），M（x₀，y₀），（7分）
∵P为线段MN的中点，∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{{5+{x_0}}}{2}=x\\ \frac{{2+{y_0}}}{2}=y\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{x_0}=2x-5\\{y_0}=2y-2\end{array}\right.$，（9分）
代入点${（2x-5）^2}+{（2y-3）^2}=10⇒{（x-\frac{5}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{5}{2}$所在圆的方程得：${（2x-5）^2}+{（2y-3）^2}=10⇒{（x-\frac{5}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{5}{2}$，（11分）
∴点${（x-\frac{5}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{5}{2}$的轨迹方程为${（x-\frac{5}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{5}{2}$．（12分）

点评 本题主要考查了直线与圆的方程的应用．求圆的方程，一般是确定圆心和半径．解决轨迹方程的问题的步骤先设点，求得变量x和y的关系即可．