Question

12．在平面直角坐标系中，若P（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}x-4y+4≤0\\ 2x+y-10≤0\\ 5x-2y+2≥0\end{array}\right.$，则当xy取得最大值时，点P的坐标是（$\frac{5}{2}$，5），xy取得的最大值为$\frac{25}{2}$．

Answer 1

分析 画出满足条件的平面区域，问题转化为z=x（10-2x）=-2x2+10x（2≤x≤4），求出函数的最值即可

解答 解：画出满足条件的平面区域，如图示：
令z=xy，由可行域可知其在第一象限，
故z=xy可看成从点P（x，y）向x轴，y轴引垂线段，所围成矩形的面积，
故其可能取最大值的位置应在线段2x+y=10（2≤x≤4）上，
z=x（10-2x）=-2x²+10x=-2（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{2}$，（2≤x≤4），
当x=$\frac{5}{2}$时z取最大值，此时P（$\frac{5}{2}$，5），最大值为$\frac{25}{2}$；
故答案为：（$\frac{5}{2}$，5）；$\frac{25}{2}$．

点评 本小题是线性规划的简单应用，对可行域的求取、对目标函数的理解都是考生必须掌握的基本技能