Question

已知函数f（x）=2cos²

x

2

+sinx．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用倍角公式和两角和差的正弦公式、正弦函数的性质即可得出；
（2）利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）函数f（x）=2cos²

x

2

+sinx=cosx+1+sinx=

2

sin(x+

π

4

)+1．
∴函数f（x）的最小正周期是2π，
由2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，解得2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递增区间为[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

](k∈Z)．）
（2）由（1）函数f（x）=

2

sin(x+

π

4

)+1．
∵x∈[0，π]，

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，
当x+

π

4

=

π

2

时，即x=

π

4

时，sin(x+

π

4

)=1，此时f（x）取得最大值

2

+1；
当x+

π

4

=

5π

4

，即x=π时，sin(x+

π

4

)=-

2

2

，此f（x）取得最小值0．

点评：本题考查了倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．