Question

已知曲线f（x）=

1

3

x³+3x+

2

3

，求与直线4x-y-2=0平行的该曲线的切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到函数在切点处的导数值，由导数值等于4求得切点横坐标，进一步求出切点坐标，代入直线方程的点斜式求得切线方程．

解答： 解：由f（x）=

1

3

x³+3x+

2

3

，得f′（x）=x²+3，
设与直线4x-y-2=0平行的该曲线的切线的切点为（x₀，y₀），
则f′(x0)=x02+3．
由x02+3=4，得x₀=±1．
当x₀=1时，y0=

1

3

×13+3×1+

2

3

=4．
切线方程为y-4=4×（x-1），即4x-y=0；
当x₀=-1时，y0=

1

3

×(-1)3+3×(-1)+

2

3

=-

8

3

．
切线方程为y+

8

3

=4×(x+1)，即12x-3y+4=0．
∴与直线4x-y-2=0平行的曲线的切线方程为4x-y=0，12x-3y+4=0．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线过该点的切线的斜率，是中档题．