Question

数列{a_n}的通项公式为a_n=nsin

nπ

2

+1，S_n为其前n项的和，则S₂₀₁₃=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：根据正弦函数的诱导公式和周期，分类讨论可得：随着n的值变化求出sin

nπ

2

的值，由此化简S₂₀₁₃的表达式，结合等差数列的求和公式即可求出答案．

解答： 解：当n=4k（k∈Z）时，sin

nπ

2

=sin0=0；
当n=4k+1（k∈Z）时，sin

nπ

2

=sin

π

2

=1；
当n=4k+2（k∈Z）时，sin

nπ

2

=sinπ=0；
当n=4k+3（k∈Z）时，sin

nπ

2

=sin

3π

2

=-1；
则S₂₀₁₃=（1×sin

π

2

+1）+（2×sinπ+1）+（3×sin

3π

2

+1）+…+（2013sin

2013π

2

+1）
=[1×1+3×（-1）+5×1+7×（-1）+…+2011×（-1）+2013×1]+2013×1
=（1-3+5-7+…+2009-2011+2013）+2013
=[503×（-2）+2013]+2013=3020．
故答案为：3020．

点评：本题求一个特殊数列的前2013项和，着重考查了正弦函数的周期、诱导公式和等差数列的通项与求和等知识，属于中档题．