Question

在△ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，且cosC=

3

5

，5（a²+b²）-6ab=20．
（Ⅰ）求c；
（Ⅱ）当△ABC的面积最大时，求sinA．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）由余弦定理知cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

5

，结合已知5（a²+b²）-6ab=20，即可解得c的值；
（Ⅱ）由5a²+5b²≥10ab，可知5a²+5b²-6ab-20=0≥4ab-20，可得S_△ABC=

1

2

absinC面积最大时，ab=5当且仅当a=b，从而可得a的值，由正弦定理即可求sinA的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

5

，
∴5a²+5b²-5c²=6ab，
∵5（a²+b²）-6ab=20．
∴5c²+6ab=20+6ab，
∴可解得c=2，
（Ⅱ）由（I）可得5a²+5b²-6ab-20=0．
∵5a²+5b²≥10ab，
∴5a²+5b²-6ab-20=0≥4ab-20，
∴ab≤5，
∴S_△ABC=

1

2

absinC面积最大时，ab=5当且仅当a=b，
∴a=

5

，
∵c=2，且cosC=

3

5

，可得sinC=

1-cos2C

=

4

5

，
∴由正弦定理可得：

a

sinA

=

2

4 5

，
∴sinA=

2 5

5

．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，不等式的解法，三角形面积公式的应用，综合性较强，属于中档题．