Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，则角A的大小为（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  3

• C、

  2

  3

  π
• D、

  5

  6

  π

Answer 1

考点：正弦定理的应用,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,解三角形

分析：根据正弦定理，设

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a²=b²+c²+bc再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．

解答： 解：由正弦定理：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∵2asinA=（2a+c）sinB+（2C+b）sinC，
方程两边同乘以2R，
∴2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，
整理得a²=b²+c²+bc，
∵由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
故cosA=-

1

2

，A=

2π

3

，
故选：C．

点评：本题主要考查了正弦定理与余弦函数的应用．主要用于解决三角形中边、角问题，故应熟练掌握，考查了计算能力，属于中档题．