Question

已知命题p：方程x ²+mx+1=0有两个不相等的实根；q：?x∈R，4x²+4（m-2）x+1＞0；
（1）若p为真，求实数m的取值范围；
（2）若q为真，求实数m的取值范围；
（3）若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：（1）通过p为真，利用判别式即可求实数m的取值范围；
（2）通过q为真，利用判别式小于0，即可求实数m的取值范围；
（3）通过p或q为真，p且q为假，分类讨论求出求实数m的取值范围．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）∵方程x ²+mx+1=0有两个不相等的实根，
所以△₁=m ²-4＞0，（2分）
∴m＞2或m＜-2，（3分）
∴若p为真，实数m的取值范围是（-∞，-2）∪（2，+∞）．（4分）
（2）因为不等式4x ²+4（m-2）x+1＞0的解集为R，
所以△₂=16（m-2）²-16＜0，（6分）
∴1＜m＜3，（7分）
∴若q为真，实数m的取值范围是（1，3）．（8分）
（3）因为p或q为真，p且q为假，所以p与q为一真一假，（9分）
（i）当p为真q为假时，

m＞2或m＜-2 m≤1或m≥3

∴m＜-2或m≥3（10分）
（ii）当p为假q为真时，

-2≤m≤2 1＜m＜3

∴1＜m≤2  （12分）
综上所述得：m的取值范围是m＜-2或1＜m≤2或m≥3．（14分）

点评：本题考查命题的真假的判断与应用，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力．