Question

已知函数f（x）=x²-（m+1）x+m（m∈R）．
（1）对任意实数α，恒有f（2+cosα）≤0，证明m≥3；
（2）若tanA，tanB是方程f（x）+4=0的两个实根，A，B是锐角三角形的两个内角，求证：m≥5．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,二次函数的性质

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用对任意实数α，恒有f（2+cosα）≤0，结合余弦函数的范围，推出不等式，求出x的最大值，即可证明m≥3；
（2）利用韦达定理以及若tanA，tanB是方程f（x）+4=0的两个实根，A，B是锐角三角形的两个内角，推出A+B的范围，得到m的不等式组，求出m的范围，即可证明m≥5．

解答： （1）证明：∵f（x）=x²-（m+1）x+m=（x-1）（x-m），
又-1≤cosα≤1，
∴1≤2+cosα≤3，恒有f（2+cosα）≤0，
即1≤x≤3时，恒有f（x）≤0，
即：（x-1）（x-m）≤0，
∴m≥x，又x_max=3，
故m≥3．
（2）证明：f（x）+4=0，即x²-（m+1）x+m+4=0，
由题意可得：

△=(m+1)2-4(m+4)≥0 tanA+tanB=m+1＞0 tanA•tanB=m+4＞0

又A、B为锐角三角形的两个内角，
∴

π

2

＜A+B＜π．
∴tan（A+B）＜0，tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

m+1

-m-3

＜0．
因而

m2-2m-15≥0 m+1＞0 m+4＞0 m+1 m+3 ＞0

，
解得m≥5．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的最值的求法，函数恒成立的应用，考查计算能力．