Question

已知函数f（x）=x-

2

x

+a（2-lnx）（a∈R），讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：求出函数f（x）的导函数，对a进行分类，讨论f′（x）的正负性，从而得出函数f（x）单调区间．

解答： 解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

x2-ax+2

x2

，
（1）当a≤0时，f′(x)=

x2-ax+2

x2

＞0，f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（2）当a＞0时，设g（x）=x²-ax+2（x＞0），则二次方程g（x）=0的判别式△=a²-8
①当△=a²-8≤0，即a∈[0，2

2

]时，g（x）=x²-ax+2≥0，f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
②当△=a²-8＞0，即a∈（2

2

，+∞）时，二次方程g（x）=0有两个不相同的实数根，记为x1=

a- a2-8

2

，x2=

a+ a2-8

2

，且x₂＞x₁＞0
结合函数g（x）的图象可知，f（x）在区间（0，x₁）和（x₂，+∞）上是增函数，在区间（x₁，x₂）上是减函数．
综上得：当a∈（-∞，2

2

]时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a∈（2

2

，+∞）时，f（x）在（0，

a- a2-8

2

）和（

a+ a2-8

2

，+∞）上单调递增，在（

a- a2-8

2

，

a+ a2-8

2

）上单调递减．

点评：本题考查了分类讨论思想，二次方程根的问题，等价转化思想，属于基础题．