Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，△PAB是等边三角形，E、F、G分别是AB、PD、PC的中点．
（1）求证：FG∥平面PAB；
（2）求证：平面PEC⊥平面PCD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：作图题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由中位线说明线线平行，由平行线的传递性说明线线平行，进而说明线面平行；（2）构造等边三角形，说明垂直，从而由线面垂直判定定理说明线面垂直，进而证明面面垂直．

解答： 证明：（1）、∵F、G分别是PD、PC的中点，
∴FG∥DC，
又∵AB∥DC，
∴FG∥AB，又∵AB?平面PAB，FG?平面PAB，
∴FG∥平面PAB．
（2）、连接PE、CE、AC，
∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，又∵E是AB的中点，
∴CE⊥AB，同理PE⊥AB，
∴AB⊥平面PEC，又∵AB∥DC，
∴DC⊥平面PEC，
∴平面PEC⊥平面PCD．

点评：本题考查了线面平行，面面垂直的判定定理，同时考查了平行线的传递性，中位线说明平行，构造等边三角形证明垂直及线面垂直的判定等，考查的综合性较强，属于中档题．