Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，经过点（0，1）．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）．若|AB|=

4 2

5

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点（0，1），可得b=1，根据离心率得出3a²=4c²以及c²=a²-b²，求出a的值，即可求该椭圆的方程；
（Ⅱ）由A（-2，0），设B（x₁，y₁），直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，消去y并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，由-2x₁=

16k2-4

1+4k2

得x₁=

2-8k2

1+4k2

，从而y₁=

4k

1+4k2

，再由|AB|=

4 2

5

，求出k的值，即可得到直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由e=

3

2

，得3a²=4c²．再由c²=a²-b²，解得a=2b．
因为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点（0，1），
所以b=1，
所以a=2，
所以椭圆的方程为

x2

4

+y²=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2，0）．设点B的坐标为（x₁，y₁），
直线l的斜率为k．则直线l的方程为y=k（x+2）．
代入椭圆方程，消去y并整理，得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
由-2x₁=

16k2-4

1+4k2

得x₁=

2-8k2

1+4k2

，从而y₁=

4k

1+4k2

．
所以|AB|=

4 1+k2

1+4k2

．
由|AB|=

4 2

5

，得

4 1+k2

1+4k2

=

4 2

5

，
整理得32k⁴-9k²-23=0，即（k²-1）（32k²+23）=，解得k=±1．
经检验△＞0符合题意，所以直线l的方程为y=±（x+2）．

点评：本题考查椭圆方程的求法和直线与圆锥曲线问题，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐条件，属于中档题．