Question

9．在△ABC中，tanA+tanB+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$tanAtanB，sinAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，则△ABC的形状为等边三角形．

Answer 1

分析 对已知等式变心求得tanC的值进而求得C，然后利用正弦的两角和公式求得cosAsinB的值，最后利用正弦的两角和公式求得sin（A-B）=0，判断出A=B，最后推断出三角形为正三角形．

解答 解：△ABC中，∵tanA+tanB+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$tanAtanB，sinAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{\sqrt{3}•（tanAtanB-1）}{1-tanAtanB}$=-$\sqrt{3}$=-tanC，∴tanC=$\sqrt{3}$，∴C=$\frac{π}{3}$，A+B=$\frac{2π}{3}$．
又sinAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=0，∴A=B，∴△ABC为等边三角形，
故答案为：等边三角形．

点评 本题主要考查了两角和与差的正弦函数和正弦函数公式的应用．考查了学生对三角函数公式的灵活运用，属于中档题．