Question

18．已知椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$及点B（0，-3），过左焦点F₁与B的直线交椭圆于C，D两点，F₂为椭圆的右焦点，求△CDF₂的面积．

Answer 1

分析 解法一：椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1左焦点是F₁，直线CD方程为y=-3x-3，与椭圆方程联立化为：19x²+36x+16=0，而△＞0，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），利用搞一下试试的关系可得：|CD|=$\sqrt{（1+{3}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，又F₂到直线DC的距离d，可得△CDF₂的面积S=$\frac{1}{2}$|CD|•d．
解法二：直线CD方程为y=-3x-3，与椭圆方程联立去x得：19y²+6y-9=0，可得|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，利用△CDF₂的面积S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|，即可得出．

解答 解：解法一：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1左焦点是F₁，∴F₁（-1，0），∴直线CD方程为y=-3x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}y=-3x-3\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得19x²+36x+16=0，而△＞0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{36}{19}\\{x_1}{x_2}=\frac{16}{19}\end{array}\right.$，
∴$|CD|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}=\sqrt{（1+9）[{{（-\frac{36}{19}）}^2}-4×\frac{64}{19}]}=\frac{{20\sqrt{2}}}{9}$．
又F₂到直线DC的距离$d=\frac{6}{{\sqrt{10}}}$，
故△CDF₂的面积S=$\frac{1}{2}$|CD|•d=$\frac{{12\sqrt{5}}}{19}$．
解法二∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1左焦点是F₁（-1，0），
∴直线CD方程为y=-3x-3，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=-3x-3\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$消去x得：19y²+6y-9=0，而△＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=-\frac{6}{19}\\{y_1}{y_2}=-\frac{9}{19}\end{array}\right.$，
∴$|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\sqrt{{{（-\frac{6}{19}）}^2}+\frac{36}{19}}=\frac{{12\sqrt{5}}}{19}$，
又|F₁F₂|=2，
∴△CDF₂的面积S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|=$\frac{{12\sqrt{5}}}{19}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长公式、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．