Question

19．已知A（2，3），B（1，4）且$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=（{sinα，cosβ}），（{α，β∈（{-\frac{π}{2}，0}）}）$，则α+β=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{\overrightarrow{AB}}{2}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），再根据$\frac{\overrightarrow{AB}}{2}$=（sinα，cosβ），α、β∈（-$\frac{π}{2}$，0），求得α和β的值，可得α+β的值．

解答 解：A（2，3），B（1，4）且 $\frac{\overrightarrow{AB}}{2}$=$\frac{1}{2}$•（-1，1）=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
又$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=（{sinα，cosβ}），（{α，β∈（{-\frac{π}{2}，0}）}）$，∴sinα=-$\frac{1}{2}$，cosβ=$\frac{1}{2}$，∴α=-$\frac{π}{6}$，β=$\frac{π}{3}$，
则α+β=$\frac{π}{6}$，
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查两个向量坐标形式的运算，根据三角函数的值求角，属于基础题．