Question

13．设函数f（x）=x²+bx+c，若f（-3）=f（1），f（0）=-3．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ） 若函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+bx+c，x≤0}\\{-3-x，x＞0}\end{array}\right.$   画出函数g（x）图象；
（Ⅱ）求函数g（x）在[-3，1]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=x²+bx+c，f（-3）=f（1），f（0）=-3，带入求b，c的值可得f（x）的解析式；
（2）求出g（x）的表达式，在画图象．
（3）数形结合法，根据图象求[-3，1]的最大值和最小值．

解答 解：（1）由题意：函数f（x）=x²+bx+c满足f（-3）=f（1），f（0）=-3．
则有：$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=9x-3b+c}\\{c=-3}\end{array}\right.$
解得：b=2，c=-3
∴函数f（x）的解析式为f（x）=x²+2x-3．
（2）由（1）可知b=2，c=-3，
函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+bx+c，x≤0}\\{-3-x，x＞0}\end{array}\right.$   
⇒g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x-3，（x≤0）}\\{-3-x，（x＞0）}\end{array}\right.$．
图象如右图所示：
（3）由（2）中的图象可知：（-3，-1）是单调减区间，（-1，0）是单调增区间
（0，1）是单调减区间
则：g（1）=-4，g（-1）=-4，g（-3）=0
∴函数g（x）在[-3，1]的最大值为0，最小值为-4．

点评 本题考查了分段函数的解析式的求法和图象的画法，通过数形结合求解定义域范围内的值域问题．属于中档题．