Question

四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=1，AA₁=AB=2，E为AA₁的中点．
（1）求证：B₁C₁⊥CE；
（2）求二面角B₁-CE-C₁大小的余弦值；
（3）设点M在线段C₁E上，且直线AM与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为

2

6

，求线段AM的长．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以A为原点，以AD为x轴，以AA₁为y轴，以AB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向时法能证明B₁C₁⊥CE．
（2）分另求出平面B₁CE的法向量和平面CEC₁的法向量，利用向量法能求出二面角B₁-CE-C₁的余弦值．
（3）设点M（a，b，c），由点M在线段C₁E上，知

EM

=λ

EC1

，λ＞0，根据直线AM与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为

2

6

，利用向量法能求出线段AM的长．

解答： （1）证明：以A为原点，以AD为x轴，以AA₁为y轴，以AB为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵AD=CD=1，AA₁=AB=2，
E为AA₁的中点，
∴B₁（0，2，2），C₁（1，2，1），
C（1，0，1），E（0，1，0），
∴

B1C1

=（1，0，-1），

CE

=（-1，1，-1），
∴

B1C1

•

CE

=0，∴B₁C₁⊥CE．
（2）解：设平面B₁CE的法向量

n

=（x，y，z），
∵

B1C

=（1，-2，-1），

B1E

=（-1，1，-1），
∴

n • B1C =x-2y-z=0 n • B1E =-x+y-z=0

，
取x=3，得

n

=（3，2，-1），
设平面CEC₁的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
∵

CC1

=(0，2，0)，

CE

=(-1，1，-1)，
∴

m • CC1 =2y1=0 m • CE =-x1+y1-z1=0

，取x₁=1，得

m

=（1，0，-1）．
设二面角B₁-CE-C₁的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

3+0+1

14 • 2

|=

2 7

7

，
∴二面角B₁-CE-C₁的余弦值为

2 7

7

．
（3）解：设点M（a，b，c），
∵点M在线段C₁E上，∴

EM

=λ

EC1

，λ＞0，
∴（a，b-1，c）=λ（1，1，1）=（λ，λ，λ），
∴a=λ，b=λ+1，c=λ，∴M（λ，λ+1，λ），∴

AM

=（λ，λ+1，λ），
∵直线AM与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为

2

6

，
平面ADD₁A₁的法向量

DC

=(0，0，1)，
∴cos＜

AM

，

DC

＞=

λ

λ2+(λ+1)2+λ2

=

2

6

，
解得λ=

1

3

，或λ=-

1

5

（舍），
∴

AM

=（

1

3

，

4

3

，

1

3

），∴|

AM

|=

1 9 + 16 9 + 1 9

=

2

．
∴线段AM的长为

2

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．