Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n和1的等差中项，等差数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=S₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=

1

bnbn+1

，数列{c_n}的前n项和为T_n，证明：T_n＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由已知条件得到S_n=2a_n-1，由此推导出数列{a_n}是以a₁=1为首项，2为公比的等比数列，从而得到an=2n-1，S_n=2ⁿ-1，进而得到b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，由此能求出{b_n}的通项公式．
（II）由c_n=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，得T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂项求和法能证明Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．

解答： （I）解：∵a_n是S_n和1的等差中项，∴S_n=2a_n-1，
当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，即

an

an-1

=2，（3分）
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2n-1，S_n=2ⁿ-1，（5分）
设{b_n}的公差为d，b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，∴d=2，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1．（6分）
（II）证明：c_n=

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，（7分）
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)，（9分）
∵n∈N^*，∴Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和的求法及不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．