题目内容
已知AA1⊥平面ABC，AA1=AB=BC=CA=3，P为A1B上的点．（1）当P为A1B中点时，求证：AB⊥PC；
（2）当
| A1P |
| PB |
| 1 |
| 2 |
考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）作PD∥AA1交AB于D，连CD，PD⊥面ABC，由已知条件推导出AB⊥平面PCD，从而能证明AB⊥PC．
（2）过P作PD⊥AB于D，过D作DE⊥BC于E，连结PE，则∠DEP为二面角P-BC-A的平面角，由此能求出二面角P-BC-A平面角的余弦值．
（2）过P作PD⊥AB于D，过D作DE⊥BC于E，连结PE，则∠DEP为二面角P-BC-A的平面角，由此能求出二面角P-BC-A平面角的余弦值．
解答：
（本大题共12分）
（1）证明：当P为A1B中点时，
作PD∥AA1交AB于D，连CD，
由AA1⊥面ABC，知PD⊥面ABC，
∵P为A1B的中点，∴D为AB中点，
∵△ABC为正三角形，
∴CD⊥AB，
∴AB⊥平面PCD，
∴AB⊥PC．
（2）解：过P作PD⊥AB于D，
过D作DE⊥BC于E，连结PE，
则∠DEP为二面角P-BC-A的平面角，
∵PD=2，DE=
，PE=
，
∴cos∠PED=
．
（1）证明：当P为A1B中点时，
作PD∥AA1交AB于D，连CD，
由AA1⊥面ABC，知PD⊥面ABC，
∵P为A1B的中点，∴D为AB中点，
∵△ABC为正三角形，
∴CD⊥AB，
∴AB⊥平面PCD，
∴AB⊥PC．
（2）解：过P作PD⊥AB于D，
过D作DE⊥BC于E，连结PE，
则∠DEP为二面角P-BC-A的平面角，
∵PD=2，DE=
| 3 |
| 7 |
∴cos∠PED=
| ||
| 7 |
点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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如图：四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD⊥CD，三角形ADE是等边三角形，且平面ABCD⊥平面ADE，EF∥AB，CD=2AB=2AD=2EF=4，