Question

（1）已知二项式（x²+

1

2 x

）ⁿ（n∈N^*）展开式中，前三项的二项式系数和为56，求展开式中的常数项；
（2）（1-2x）²⁰¹⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₄x²⁰¹⁴（x∈R）
①求

a1

2

+

a2

22

+

a3

23

+…+

a2014

22014

的值；
②求a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+2014a₂₀₁₄的值．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）由题意可得

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=56，求得n的值，在二项式的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．
（2）①在所给的等式中，令x=0可得a₀=1．再令x=

1

2

，可得a₀+

a1

2

+

a2

22

+

a3

23

+…+

a2014

22014

的值，从而求得

a1

2

+

a2

22

+

a3

23

+…+

a2014

22014

 的值．
②把所给的等式两边同时对x求导数，再令x=1可得a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+2014a₂₀₁₄的值．

解答： （1）解：由题意可得

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=1+n+

n(n-1)

2

=56，求得 n=10，
故二项式（x²+

1

2 x

）¹⁰展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 10

•2^-r•x20-

5r

2

，
令20-

5r

2

=0，求得 r=8，故展开式中的常数项为

C

8 10

•2^-8=

45

256

．
（2）解：①∵（1-2x）²⁰¹⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₄x²⁰¹⁴（x∈R），令x=0可得a₀=1．
∴令x=

1

2

，可得 a₀+

a1

2

+

a2

22

+

a3

23

+…+

a2014

22014

=0，故有

a1

2

+

a2

22

+

a3

23

+…+

a2014

22014

=-1．
②由（1-2x）²⁰¹⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₄x²⁰¹⁴（x∈R），
可得2014•（-2）•（1-2x）²⁰¹³ =a₁+2a₂x+…+2014a₂₀₁₄x²⁰¹³（x∈R），
再令x=1可得 a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+2014a₂₀₁₄=4028．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，给变量赋值的问题，属于基础题．