Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N₊有S_n=2a_n-2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若不等式a_2n-k•a_n+64≥0对任意n∈N₊恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：等比数列的通项公式,数列的函数特性,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）将n用n-1代替得S_n-1=2a_n-1-2，两式相减得，a_n=2a_n-2a_n-1即2a_n-1=a_n，n≥2，利用等比数列的通项公式得到结果；
（2）将（1）中的通项代入不等式a_2n-k•a_n+64≥0得到不等式2n+

64

2n

≥k恒成立，只需(2n+

64

2n

)min≥k，利用基本不等式求出最小值得到k的范围．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-2，
∴S_n-1=2a_n-1-2，
两式相减得，a_n=2a_n-2a_n-1
即2a_n-1=a_n，n≥2，
所以{a_n}为等比数列，a₁=2a₁-2⇒a₁=2，
所以an=2n；…（5分）
（2）a2n-k•an+64≥0⇒22n-k•2n+64≥0⇒22n+64≥k•2n⇒2n+

64

2n

≥k
…（8分）
只需(2n+

64

2n

)min≥k，
∵2n+

64

2n

≥2

2n• 64 2n

=16，当且仅当n=3时取等号．…（11分）
所以16≥k．…（12分）

点评：本题考查了数列通项的求法；不等式恒成立转化为求最值；利用基本不等式求函数的最值．