Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2

2

，且过点A（

3

2

，

1

2

）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知l：y=kx-1，是否存在k使得点A关于l的对称点B（不同于点A）在椭圆C上？若存在求出此时直线l的方程，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）通过椭圆的焦距求出c，利用a、b、c的关系以及点的坐标适合椭圆方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）法1：当k=0时，验证点B(

3

2

，-

5

2

)不在椭圆上；当k≠0时，可设直线AB：y=-

1

k

(x-

3

2

)+

1

2

，代入

x2

3

+y2=1利用韦达定理，以及对称综上，说明不存在k满足条件．
法2：设AB：x=-ky+m，代入椭圆方程

x2

3

+y2=1利用韦达定理，以及对称知识，说明k=1，导出对称点B与点A重合，不合题意，不存在k满足条件．
法3：由l：y=kx-1可知直线l恒过点P（0，-1），设点A关于l的对称点B坐标为（x₀，y₀），
利用|PA|=|PB|，求出B(-

3

2

，

1

2

)与A关于x=0对称，不存在k满足条件．

解答： 解：（Ⅰ）椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2

2

，∴c=

2

，则a²-b²=2…①，
椭圆过点A（

3

2

，

1

2

）．

9

4a2

+

1

4b2

=1…②，解①②可得a²=3，b²=1，
∴椭圆的方程：

x2

3

+y2=1
（Ⅱ）法1：当k=0时，直线l：y=-1，点B(

3

2

，-

5

2

)不在椭圆上；
当k≠0时，可设直线AB：y=-

1

k

(x-

3

2

)+

1

2

，即2x+2ky-3-k=0
代入

x2

3

+y2=1整理得（4k²+12）y²-4k（k+3）y+（k+3）²-12=0
因为y1+y2=

4k(k+3)

4k2+12

，
所以x1+x2=(k+3)-(ky1+ky2)=k+3-

4k2(k+3)

4k2+12

=

12(k+3)

4k2+12

若A，B关于直线l对称，
则其中点(

6(k+3)

4k2+12

，

2k(k+3)

4k2+12

)在直线y=kx-1上
所以

2k(k+3)

4k2+12

=

6k(k+3)

4k2+12

-1，解得k=1
因为此时点A(

3

2

，

1

2

)在直线l上，
所以对称点B与点A重合，不合题意
所以不存在k满足条件．
法2：设AB：x=-ky+m，代入椭圆方程

x2

3

+y2=1化简得（k²+3）y²-2kmy+m²-3=0，yA+yB=

2km

k2+3

，所以xA+xB=-

2k2m

k2+3

+2m=

6m

k2+3

若A，B关于直线l对称，则其中点(

3m

k2+3

，

km

k2+3

)在直线y=kx-1上，
所以

km

k2+3

=

3km

k2+3

-1，即2km=k²+3．
又A(

3

2

，

1

2

)在直线AB：x=-ky+m上，
所以2m-k=3，
消m得（3+k）k=k²+3，所以k=1
因为此时点A(

3

2

，

1

2

)在直线l上，
所以对称点B与点A重合，不合题意，
所以不存在k满足条件．
法3：由l：y=kx-1可知直线l恒过点P（0，-1），
设点A关于l的对称点B坐标为（x₀，y₀），
因为点A，B关于l对称，所以|PA|=|PB|
所以x02+(y0+1)2=

9

2

①
又B在椭圆上，所以

x02

3

+y02=1②
联立①②解得

x0= 3 2 y0= 1 2

或

x0=- 3 2 y0= 1 2

因为B(

3

2

，

1

2

)与A点重合，舍，
因为B(-

3

2

，

1

2

)与A关于x=0对称
所以不存在k满足条件．

点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的对称关系的应用，考查直线与圆锥曲线的位置关系．