Question

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的零点与方程根的关系

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，从而求出单调区间，（2）引进新函数g（x）由题意得出方程组，从而求出a的范围．

解答： 解：（1）函数的定义域为（-1，+∞），
∵f（x）=（1+x）²-2ln（1+x），
∴f′（x）=2（x+1-

1

x+1

），
由f′（x）＞0，得x＞0；
由f′（x）＜0，得-1＜x＜0，
∴f（x）的递增区间是（0，+∞），递减区间是（-1，0）．
（2）方程f（x）=x²+x+a，
即x-a+1-2ln（1+x）=0，
记g（x）=x-a+1-2ln（1+x）（x＞-1），
则g′（x）=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

，
由g′（x）＞0，得x＞1；由g′（x）＜0，得-1＜x＜1．
所以g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增．
为使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有两个相异的实根，
只须g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一个实根，
于是有

g(0)≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

，即

-a+1≥0 2-a-2ln2＜0 3-a-2ln3≥0

，
解得2-2ln 2＜a≤3-2ln 3，
故实数a的取值范围是（2-2ln 2，3-2ln 3]．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的零点与方程的根的关系，导数的应用，是一道综合题．