Question

某家具生产厂需要在一个半径为1的圆形木料中依照图纸方式切割出如图十字图形，其中∠AEF=θ（θ为变量），AB=HG=x，AF=y．
（1）用θ表示x，y，并求出θ的取值范围．
（2）将阴影部分的面积S表示为θ的函数，并求出S的最大值及此时θ的值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得x=2cosθ，y=2sinθ，由y＞x解出θ的取值范围；
（2）化简表达式S=2xy-2x²=8cosθsinθ-8cos²θ=4

2

sin（2θ-

π

4

）-4，从而求S的最大值及此时θ的值．

解答： 解：（1）x=2cosθ，y=2sinθ，
∵y＞x，
∴θ∈（

π

4

，

π

2

）．
（2）S=2xy-2x²=8cosθsinθ-8cos²θ
=4sin2θ-4cos2θ-4
=4

2

sin（2θ-

π

4

）-4，
当2θ-

π

4

=

π

2

，即θ=

3π

8

时，
S有最大值，最大值为4（

2

-1）．

点评：本题考查了函数解析式的求法及三角函数的最值的求法，属于基础题．