Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），当x∈（-1，3]时，f（x）=

1-x2 ，x∈(-1，1] t(1-|x-2|)，x∈(1，3]

，其中t＞0，若方程f（x）=

x

3

恰有3个不同的实数根，则t的取值范围为（　　）

• A、（0，

  4

  3

  ）
• B、（

  2

  3

  ，2）
• C、（

  4

  3

  ，3）
• D、（

  2

  3

  ，+∞）

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数的周期性

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：确定f（x）的周期为4，x∈（5，6）时，f（x）=t（x-5），x∈（6，7）时，f（x）=t（7-x），再利用t＞0，f（x）=

x

3

恰有3个不同的实数根，可得t（2-1）＞

2

3

，t（6-1）＜2，即可求出t的取值范围．

解答： 解：由f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），故f（x）的周期为4，
∵x∈（1，2）时，f（x）=t（x-1），x∈（2，3）时，f（x）=t（3-x），
∴x∈（5，6）时，f（x）=t（x-5），x∈（6，7）时，f（x）=t（7-x），
∵t＞0，f（x）=

x

3

恰有3个不同的实数根，
∴t（2-1）＞

2

3

，t（6-1）＜2
∴2＞t＞

2

3

，
故选：B．

点评：本题考查函数的周期性、根的存在性及根的个数判断，考查学生的计算能力，属于中档题．