Question

10．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-1}（x≥1）}\\{3x-2（x＜1）}\end{array}\right.$，若不等式$f（{{{cos}^2}θ+λsinθ-\frac{1}{4}}）+\frac{1}{2}≥0$对任意的$θ∈[{0，\frac{π}{2}}]$恒成立，则整数λ的最小值为1．

Answer 1

分析 令f（x）＞-$\frac{1}{2}$，解得：x＞$\frac{1}{2}$，若对任意θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式f（cos²θ+λsinθ-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{2}$≥0恒成立，则对任意θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，cos²θ+λsinθ-$\frac{1}{4}$≥$\frac{1}{2}$恒成立，进而得到答案．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-1}（x≥1）}\\{3x-2（x＜1）}\end{array}\right.$，
令f（x）＞-$\frac{1}{2}$，
解得：x＞$\frac{1}{2}$，
若对任意θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式f（cos²θ+λsinθ-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{2}$≥0恒成立，
则对任意θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，cos²θ+λsinθ-$\frac{1}{4}$≥$\frac{1}{2}$恒成立，
即1-sin²θ+λsinθ-$\frac{1}{4}$≥$\frac{1}{2}$恒成立，
当θ=0时，不等式恒成立，
当θ≠0时，1-sin²θ+λsinθ-$\frac{1}{4}$≥$\frac{1}{2}$可化为：λ≥$\frac{{sin}^{2}θ-\frac{1}{4}}{sinθ}$=sinθ-$\frac{1}{4sinθ}$，
当θ=$\frac{π}{2}$时，sinθ-$\frac{1}{4sinθ}$取最大值$\frac{3}{4}$，
故λ＞$\frac{3}{4}$，
故整数λ的最小值为1，
故答案为：1．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数恒成立问题，函数的最值，难度中档．