Question

7．如图，在四棱锥中S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，
平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED=$\sqrt{3}$，SE⊥AD．
（1）证明：平面SBE⊥平面SEC
（2）若SE=1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）证明SE⊥AD，SE⊥BE．推出BE⊥CE．证明BE⊥平面SEC，然后证明平面SBE⊥平面SEC．
（2）以EB为x轴，以EC为y轴，以ES为z轴，建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面SBC的法向量，设直线CE与平面SBC所成角为θ，通过向量的数量积求解直线CE与平面SBC所成角的正弦值即可．

解答 解：（1）证明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SE?平面SAD，SE⊥AD，
∴SE⊥平面ABCD，…（2分）
∵BE?平面ABCD，∴SE⊥BE．∵CD=3AB=3，AE=ED=$\sqrt{3}$，∴∠AEB=30°，∠CED=60°．
所以∠BEC=90°即BE⊥CE．…（4分）
结合SE∩CE=E得BE⊥平面SEC，∵BE?平面SBE，∴平面SBE⊥平面SEC．…（6分）
（2）由（1）知，直线ES，EB，EC两两垂直．
如图，以EB为x轴，以EC为y轴，以ES为z轴，建立空间直角坐标系．
则$E（0，0，0），C（0，2\sqrt{3}，0），S（0，0，1），B（2，0，0）$，
∴$\overrightarrow{CB}=（2，-2\sqrt{3}，0），\overrightarrow{CS}=（0，-2\sqrt{3}，1）$．
设平面SBC的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{CB}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{CS}=0\end{array}\right.$
解得一个法向量$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，1，2\sqrt{3}）$，…（9分）
设直线CE与平面SBC所成角为θ，
又$\overrightarrow{CE}=（0，-2\sqrt{3}，0）$，
则$sinθ=|{\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{CE}}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{CE}}|}}}|=\frac{1}{4}$．
所以直线CE与平面SBC所成角的正弦值$\frac{1}{4}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．