题目内容
求下列函数的单调区间．
（1）函数f（x）=x+
（a＞0）（x＞0）；
（2）函数y=
．
（1）函数f（x）=x+
| a |
| x |
（2）函数y=
| x2+x-6 |
考点：函数的单调性及单调区间
专题：函数的性质及应用
分析：（1）通过讨论x的范围，从而求出函数的单调区间；
（2）令u=x2+x-6，y=
可以看作有y=
与u=x2+x-6的复合函数，根据复合函数的单调性的判断，求出单调区间．
（2）令u=x2+x-6，y=
| x2+x-6 |
| u |
解答：
解：（1）设x1＜x2，
∴f（x1）-f（x2）
=x1+
-（x2+
）
=（x1-x2）+
=（x1-x2）•
当0＜x1＜x2＜
时，x1x2＜a，
∴f（x1）-f（x2）＞0．
在（0，
）上，f（x）是减函数．
当
＜x1＜x2时，x1x2＞a，f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x）在（
，+∞）上是增函数，
∴f（x）=x+
（a＞0）的增区间为（
，+∞），减区间为（0，
）．
（2）令u=x2+x-6，y=
可以看作有y=
与u=x2+x-6的复合函数．
由u=x2+x-6≥0，得x≤-3或x≥2．
∵u=x2+x-6在（-∞，-3]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数，
而y=
在（0，+∞）上是增函数．
∴y=
的单调减区间为（-∞，-3]，单调增区间为[2，+∞）．
∴f（x1）-f（x2）
=x1+
| a |
| x1 |
| a |
| x2 |
=（x1-x2）+
| a(x2-x1) |
| x1x2 |
=（x1-x2）•
| x1x2-a |
| x1x2 |
当0＜x1＜x2＜
| a |
∴f（x1）-f（x2）＞0．
在（0，
| a |
当
| a |
∴f（x）在（
| a |
∴f（x）=x+
| a |
| x |
| a |
| a |
（2）令u=x2+x-6，y=
| x2+x-6 |
| u |
由u=x2+x-6≥0，得x≤-3或x≥2．
∵u=x2+x-6在（-∞，-3]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数，
而y=
| u |
∴y=
| x2+x-6 |
点评：本题考查了函数的单调性问题，对于复合函数的单调性遵循“同增异减”的方法，本题属于中档题．
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