Question

已知z为虚数，且|

.

z

-3|=|

.

z

-3i|，u=z-1+

9

z-1

为实数，求z．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算,复数的基本概念

专题：平面向量及应用

分析：设z=a+bi（a，b∈R），由|

.

z

-3|=|

.

z

-3i|，可得|a-3-bi|=|a-（b+3）i|，即

(a-3)2+b2

=

a2+(b+3)2

．解得b=-a．再利用u=z-1+

9

z-1

为实数的充要条件是虚部为0即可得出．

解答： 解：设z=a+bi（a，b∈R），
∵|

.

z

-3|=|

.

z

-3i|，
∴|a-3-bi|=|a-（b+3）i|，
∴

(a-3)2+b2

=

a2+(b+3)2

．
化为a+b=0．∴b=-a．
∵u=z-1+

9

z-1

=a-ai-1+

9

a-1-ai

=a-ai+

9(a-1+ai)

(a-1-ai)(a-1+ai)

=a-ai+

9(a-1)+9ai

(a-1)2+a2

=a+

9(a-1)

2a2-2a+1

+(

9a

2a2-2a+1

-a)i为实数，
∴

9a

2a2-2a+1

-a=0，解得a=0，或a=

1± 17

2

．
∴z=0或

1+ 17

2

-

1+ 17

2

i或

1- 17

2

-

1- 17

2

i．

点评：本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件是虚部为0，考查了计算能力，属于中档题．