Question

已知函数f（x）=

x

1+x

（x＞0），数列{a_n}满足：a₁=

1

2

，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令函数g（x）=f（x）（1+x）²，数列{c_n}满足：c₁=

1

2

，c_n+1=g（c_n）（n∈N⁺），求证：对于一切n≥2的正整数，都满足：1＜

1

1+c1

+

1

1+c2

+…+

1

1+cn

＜2．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）证明数列{a_n}是以2为首项以1为公差的等差数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）g（x）=f（x）（1+x）²=x（1+x），所以c_n+1=g（c_n）=c_n（1+c_n），两边取倒数，再由错位相消法化简问题论证即可．

解答： （Ⅰ）解：∵a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）
∴an+1=

an

1+an

，
∴

1

an+1

-

1

an

=1，
∴数列{a_n}是以2为首项以1为公差的等差数列，
∴

1

an

=2+(n-1)=n+1
∴an=

1

n+1

（Ⅱ）证明：∵g（x）=f（x）（1+x）²=x（1+x），故c_n+1=g（c_n）=c_n（1+c_n），
又∵c₁=

1

2

＞0，故c_n＞0，则

1

cn+1

=

1

cn

-

1

1+cn

，
即

1

1+cn

=

1

cn

-

1

cn+1

．
∴

1

1+c1

+

1

1+c2

+…+

1

1+cn

=（

1

c1

-

1

c2

）+（

1

c2

-

1

c3

）+…+（

1

cn

-

1

cn+1

）=

1

c1

-

1

cn+1

=2-

1

cn+1

＜2
又

1

1+c1

+

1

1+c2

+…+

1

1+cn

≥

1

1+c1

+

1

1+c2

=

26

21

＞1，
故1＜

1

1+c1

+

1

1+c2

+…+

1

1+cn

＜2．

点评：本题是函数、数列、不等式等的大型综合题，情景新颖，具有较好的区分度，要求学生具有一定的审题、读题能力，一定的等价变形能力，是一种比较常见的题型．