Question

已知在长方体ABCD-A′B′C′D′中，点E为棱上CC′上任意一点，AB=BC=2，CC′=1．
（1）求证：平面ACC′A′⊥平面BDE；
（2）若点P为棱C′D′的中点，点E为棱CC′的中点，求三棱锥P-BDE的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由正方形性质得AC⊥BD，由线面垂直得BD⊥CC′，由此能证明平面BDE⊥平面ACC′A′．
（Ⅱ）由V_P-BDE=V_B-PDE，利用等积法能求出三棱锥P-BDE的体积．

解答： （1）证明：∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵CC′⊥平面ABCD，∴BD⊥CC′，（3分）
又CC′∩AC=C，∴BD⊥平面ACC′A′，
∵BD?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ACC′A′．（6分）
（2）解：∵V_P-BDE=V_B-PDE，
由ABCD-A′B′C′D′是长方体，∴BC⊥平面CC′D′D，
即三棱锥B-PDE的高BC=2，
底面三角形△PBE面积
S_△PBE=SCC′D′D-S△DCE-S△EC′P-S△PD′D
=1×2-

1

2

×1×1-

1

2

×2×

1

2

-

1

2

×1×

1

2

=

3

4

，
∴V_P-BDE=V_B-PDE=

1

3

×2×

3

4

=

1

2

．（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥P-BDE的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．