Question

设函数f（x）=e^x（sinx-1）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）当x∈[-

3

4

π，

3

4

π]时，求函数的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=e^x（sinx+cosx-1），令f′（x）＞0，解不等式，从而求出函数的递增区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）在（0，

π

2

）（k∈Z）递增；令f′（x）＜0，求出f（x）在[-

3

4

π，0），（

π

2

，

3

4

π]递减，进而求出函数的最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=e^x（sinx+cosx-1），
令f′（x）＞0，解得：2kπ＜x＜2kπ+

π

2

，（k∈Z），
∴f（x）在（2kπ，2kπ+

π

2

）（k∈Z）递增；
（Ⅱ）：由（Ⅰ）得：
f′（x）=e^x（sinx+cosx-1），
f（x）在（0，

π

2

）（k∈Z）递增；
令f′（x）＜0，解得：-

3

4

π≤x＜0，或

π

2

＜x≤

3

4

π，
∴f（x）在[-

3

4

π，0），（

π

2

，

3

4

π]递减，
又∵f（-

3

4

π）=（-

2

2

-）e-

3

4

π＜0，
f（

π

2

）=0，f（0）=-1，
f（

3

4

π）=（

2

2

-1）e

3

4

π＜-1，
∴f（x）_max=0，f（x）_min=（

2

2

-1）e

3

4

π．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，三角函数的性质，是一道综合题．