Question

设函数f（x）=sin（

x

2

-

π

3

）．
（1）求函数f（x）的周期和单调增区间；
（2）求不等式

1

2

≤f（x）≤

3

2

的解集．

Answer 1

考点：正弦函数的图象,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据三角函数的周期公式和单调性即可得到结论．
（2）由三角函数的图象和性质，解不等式即可得到结论．

解答： 解：（1）∵ω=

1

2

，∴求函数f（x）的周期T=

2π

1 2

=4π，
由-

π

2

+2kπ≤

x

2

-

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z．
即-

π

3

+4kπ≤x≤

5π

3

+4kπ，k∈Z，
即函数的单调增区间为[-

π

3

+4kπ，

5π

3

+4kπ]，k∈Z．
（2）由不等式

1

2

≤sin（

x

2

-

π

3

）≤

3

2

，
得

π

6

+2kπ≤

x

2

-

π

3

≤

π

3

+2kπ，或

2π

3

+2kπ≤

x

2

-

π

3

≤

5π

6

+2kπ，k∈Z．
即

π

2

+4kπ≤x≤

4π

3

+4kπ，k∈Z，或π+4kπ≤x≤

7π

6

+4kπ，k∈Z，
即不等式的解集为[

π

2

+4kπ，

4π

3

+4kπ]∪[π+4kπ，

7π

6

+4kπ]，k∈Z．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的周期性和单调性的性质．