Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂+a₇+a₁₂=-6，S₂₀=-110．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若等比数列{b_n}的前n项和为T_n，b₁=4，公比q=-

1

2

，且对任意的m，n∈N^*，都有S_n＜T_m+t，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：综合题

分析：（1）由已知列出方程组

3 a1+18d=-6 20a1+ 20×19 2 d=-110

，求出

a1=4 d=-1

代入等差数列的通项公式即可；
（2）求出等差数列{a_n}的前n项和为S_n及等比数列{b_n}的前n项和为T_n，将对任意的m，n∈N^*，都有S_n＜T_m+t，转化为求S_n-T_m，求的最大值．

解答： 解：（1）∵a₂+a₇+a₁₂=-6，S₂₀=-110．
∴

3 a1+18d=-6 20a1+ 20×19 2 d=-110

，
解得

a1=4 d=-1

∴a_n=a₁+（n-1）d=-n+5．
（2）由（1）知Sn= a1n+

n(n-1)

2

d=-

n2

2

+

9

2

n，
∵等比数列{b_n}中b₁=4，公比q=-

1

2

，
∴Tm=

4[1-(- 1 2 )m]

1+ 1 2

=

8

3

[1-(-

1

2

)m]，
∵任意的m，n∈N^*，都有S_n＜T_m+t，
 (-

n2

2

+

9

2

n)-

8

3

[1-(-

1

2

)m]＜t对任意的m，n∈N^*，都成立  
当n=4或5时，S_n最大为10；
当m=2时T_m最小为2；
∴当n=4或5且m=2时(-

n2

2

+

9

2

n)-

8

3

[1-(-

1

2

)m]最大为10-2=8，
∴t＞8．

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式，前n项和公式；不等式恒成立问题，是一道综合题．