Question

已知数列{a_n}，满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（Ⅰ）证明数列{a_n+1}是等比数列
（Ⅱ）若数列{bn}满足4 b1-1•42b2-1•4 3b3-1…4 nbn-1=（a_n+1）ⁿ，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等比数列的定义即可证明数列{a_n+1}是等比数列．
（Ⅱ）根据数列的递推关系，进行化简即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n+1，
∴1+a_n+1=2a_n+2=2（a_n+1），
故数列{a_n+1}是等比数列，公比q=2，首项为2．
且a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ．
（Ⅱ）∵4 b1-1•42b2-1•4 3b3-1…4 nbn-1=（a_n+1）ⁿ，
∴4b1+2b2+…+nbn-n=(2n)n=2n2，
即2（b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n）-2n=n²，
∴2（b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n）=n²+2n，①
当n≥2时，2（b₁+2b₂+3b₃+…+（n-1）b_n-1）=（n-1）²+2（n-1）=n²-1，②
两式相减得2nb_n=2n+1，（n≥2），
即b_n=1+

1

2n

，（n≥2），
当n=1时，也满足条件，故b_n=1+

1

2n

，（n≥1）．

点评：本题主要考查等比数列的证明和判断，利用递推数列是解决本题的关键，考查学生的计算能力．