Question

4．已知数列{a_n}是等比数列，首项 a₁=1，公比q≠0，其前n项和为S_n，且 S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差数列
（1）求{a_n}通项公式
（2）若数列{ b_n}满足$a_{n+1}={（\frac{1}{2}）}^{a_nb_n}$，求数列{b_n}的前n项和 T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意列式求出等比数列的公比，代入通项公式得答案；
（2）由题意可知${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$，结合$a_{n+1}={（\frac{1}{2}）}^{a_nb_n}$求得{b_n}的通项公式，再利用错位相减法求得数列{b_n}的前n项和 T_n．

解答 解：（1）由题意可知：2（S₃+a₃）=（S₁+a₁）+（S₂+a₂）
∴S₃-S₁+S₃-S₂=a₁+a₂-2a₃，
即4a₃=a₁，于是$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}={q}^{2}=\frac{1}{4}$，
∴q=$±\frac{1}{2}$．
∵a₁=1，∴${a}_{n}=（-\frac{1}{2}）^{n-1}$或${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$；
（2）由$a_{n+1}={（\frac{1}{2}）}^{a_nb_n}$，可知a_n+1＞0，
即${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
且${a}_{n}{b}_{n}=lo{g}_{\frac{1}{2}}{a}_{n+1}=lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{1}{2}）^{n}=n$，
则${b}_{n}=\frac{n}{{a}_{n}}=\frac{n}{（\frac{1}{2}）^{n-1}}=n•{2}^{n-1}$．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1．
则$2{T}_{n}=1•{2}^{1}+2•{2}^{2}+3•{3}^{3}+…+（n-1）•{2}^{n-1}+n•{2}^{n}$．
两式作差得$-{T}_{n}=1+2+{2}^{2}+…+{2}^{n-1}-n•{2}^{n}$=$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}-n•{2}^{n}={2}^{n}-1-n•{2}^{n}$．
∴${T}_{n}=（n-1）{2}^{n}+1$．

点评 本题考查数列的求和，考查了等比数列的性质和等差数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．