Question

16．如图在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，$\overrightarrow{CP}$=3$\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=2，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$的值是（　　）

• A． 18
• B． 20
• C． 22
• D． 24

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{CP}$=3$\overrightarrow{PD}$，可得$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$，进而由AB=8，AD=5，$\overrightarrow{CP}$=3$\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=2，构造方程，进而可得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{CP}$=3$\overrightarrow{PD}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$，
又∵AB=8，AD=5，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$）=|$\overrightarrow{AD}$|²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$-$\frac{3}{16}$|$\overrightarrow{AB}$|²=25-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$-12=2，
故$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=22，
故答案为：22．

点评 本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$，是解答的关键．