Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax²+x，a∈R．
（1）若函数φ（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是单调增函数，求a的取值范围；
（2）设函数φ（x）的图象被点P（2，φ（2））分成的两部分为C₁，C₂．该函数图象在点P处的切线为l，且C₁、C₂位于直线l的两侧，试求所有满足条件的a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数φ（x）=f（x）-g（x）的表达式，求函数的导数，利用在其定义域内是单调增函数，等价为φ′（x）≥0，解不等式即可求a的取值范围；
（2）求出函数的切线方程，集合条件建立方程关系即可得到结论．

解答： 解：（1）因为f（x）=lnx，g（x）=ax²+x，a∈R，
所以φ（x）=f（x）-g（x）=lnx+ax²+x，函数的定义域为（0，+∞），
要使φ（x）在其定义域内是单调增函数，
则φ′（x）≥0恒成立，
即ϕ′(x)=

1

x

-2ax-1=-

2ax2+x-1

x

≥0，（x＞0），
只需要2ax²+x-1≤0，即2a≤

1

x2

-

1

x

=(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

，
所以a≤-

1

8

．
（2）因为ϕ′(x)=

1

x

-2ax-1．
所以切线l的方程为y=(-4a-

1

2

)(x-4)+ln2-4a-2．
令h(x)=lnx-ax2-x-[(-4a-

1

2

)(x-2)+ln2-4a-2]，
则h（2）=0.h′(x)=

1

x

-2ax+4a-

1

2

=-

2ax2-(4a- 1 2 )-1

x

．
若a=0，则h′(x)=

2-x

2x

，
当x∈（0，2）时，h′（x）＞0；
x∈（2，+∞）时，h′（x）＜0，
所以h（x）≤h（2）=0，c₁，c₂在直线同侧，l不合题意；
若a≠0，h′=-

2a(x-2)(x+ 1 4a )

x

，
若a=-

1

8

，h′=

( x 2 -1)2

x

≥0，h（x）是单调增函数，
当x∈（2，+∞）时，h（x）＞h（2）=0；
当x∈（0，2）时，h（x）＜h（2）=0，符合题意；
若a＜-

1

8

，当x∈(-

1

4a

，2)时，h′（x）＜0，h′（x）＞h（2）=0，
当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h′（x）＞h（2）=0，不合题意； 
若-

1

8

＜a＜0，当x∈(2，-

1

4a

)时，h′（x）＜0，h（x）＜h（2）=0，
当x∈（0，2）时，h′（x）＞0，h（x）＜h（2）=0，不合题意； 
若a＞0，当x∈（0，2）时，h′（x）＞0，h（x）＜h（2）=0，
当x∈（2．+∞）时，h′（x）＜0，h（x）＜h（2）=0，不合题意．
故只有a=-

1

8

符合题意．

点评：本题主要考查导数的应用，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．