题目内容
如图，已知：平行四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=1．PD⊥平面ABCD，且PD=3．（1）求证：直线BC∥平面PAD；
（2）求直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值．
考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定
专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）证明直线BC∥平面PAD，只需证明BC∥AD；
（2）判断∠PBD的大小等于直线PB与平面ABCD所成角的大小，即可求直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值．
（2）判断∠PBD的大小等于直线PB与平面ABCD所成角的大小，即可求直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值．
解答：
（1）证明：因为平行四边形ABCD是矩形，所以BC∥AD，
因为BC?平面PAD，AD?平面PAD，
所以根据线面平行的判定定理可得：BC∥平面PAD；
（2）解：连接BD，则
因为PD⊥平面ABCD，
所以∠PBD的大小等于直线PB与平面ABCD所成角的大小．
因为平行四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=1，
所以BD=
，
因为PD=3，
所以PB=
，
所以sin∠PBD=
=
=
，
所以直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值为
．
因为BC?平面PAD，AD?平面PAD，
所以根据线面平行的判定定理可得：BC∥平面PAD；
（2）解：连接BD，则
因为PD⊥平面ABCD，
所以∠PBD的大小等于直线PB与平面ABCD所成角的大小．
因为平行四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=1，
所以BD=
| 5 |
因为PD=3，
所以PB=
| 14 |
所以sin∠PBD=
| PD |
| PB |
| 3 | ||
|
3
| ||
| 14 |
所以直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值为
3
| ||
| 14 |
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握有关线线、线面平行的判定定理、性质定理．
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