Question

已知奇函数f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，且f（3）=0，则满足（x-1）f（x）＜0的x的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：运用奇函数的图象和性质可得f（x）在[-1，0]上为增函数，在（-∞，-1]上为减函数．且f（0）=0，f（-3）=f（3）=0，讨论x＞1或-1＜x＜1或x＜-1，得到不等式组，通过单调性解出它们，再求并集即可．

解答： 解：由于奇函数的图象关于原点对称，
则由奇函数f（x）在[0，1]上是增函数，
在[1，+∞）上是减函数，
可得f（x）在[-1，0]上为增函数，
在（-∞，-1]上为减函数．
且f（0）=0，f（-3）=f（3）=0，
不等式（x-1）f（x）＜0，即为

x＞1 f(x)＜0=f(3)

或

-1＜x＜1 f(x)＞0=f(0)

或

x＜-1 f(x)＞0=f(-3)

，
即有

x＞1 x＞3

或

-1＜x＜1 x＞0

或

x＜-1 x＜-3

，
解得，x＞3或0＜x＜1或x＜-3，
故答案为：（-∞，-3）∪（0，1）∪（3，+∞）．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．