Question

函数f（x）=x+

1

ax

在（-∞，-1）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[1，+∞）
• B、（-∞，0）∪（0，1]
• C、（0，1]
• D、（-∞，0）∪[1，+∞）

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：求出函数的导数，由题意可得f′（x）≥0在（-∞，-1）上恒成立．运用参数分离可得

1

a

≤x²在（-∞，-1）上恒成立．运用二次函数的最值，求出右边的范围即可得到．

解答： 解：函数f（x）=x+

1

ax

的导数为f′（x）=1-

1

ax2

，
由于f（x）在（-∞，-1）上单调递增，
则f′（x）≥0在（-∞，-1）上恒成立．
即为

1

a

≤x²在（-∞，-1）上恒成立．
由于当x＜-1时，x²＞1，
则有

1

a

≤1，解得，a≥1或a＜0．
故选D．

点评：本题考查函数的单调性的运用，考查运用导数判断单调性，以及不等式恒成立问题转化为求函数最值或范围，属于基础题和易错题．