Question

5．过抛物线y²=4ax（a＞0）的焦点F作斜率为-1的直线l，l与离心率为e的双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞0}）$的两条渐近线的交点分别为B，C．若x_B，x_C，x_F分别表示B，C，F的横坐标，且$x_F^2=-{x_B}•{x_C}$，则e=（　　）

• A． 6
• B． $\sqrt{6}$
• C． 3
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 过抛物线y²=4ax（a＞0）的焦点F（a，0），所以直线y=-x+a与y=±$\frac{b}{a}$交于B、C两点，求出B、C的横坐标，再根据 且$x_F^2=-{x_B}•{x_C}$，建立关于a、b的等式解出b²=2a²，可得此双曲线的离心率．

解答 解：过抛物线y²=4ax（a＞0）的焦点F作斜率为-1的直线l，直线方程为y=-x+a，
∵双曲线的渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x，
∴直线y=-x+a与渐近线的交点横坐标分别为x_B=$\frac{{a}^{2}}{a-b}$，x_B=$\frac{{a}^{2}}{a+b}$，x_F=a，
∵$x_F^2=-{x_B}•{x_C}$，
∴a²=-$\frac{{a}^{4}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
解得2a²=b²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
故选：D

点评 本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的离心率．着重考查了直线的交点坐标、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．