Question

已知函数f（x）=x-1-lnx，若不等式f（x）≥bx-2对任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数b的取值范围是（　　）

• A、（-∞，1-

  1

  e2

  ]
• B、[1-

  1

  e2

  ，+∞）
• C、（0，1-

  1

  e2

  ]
• D、[1-

  1

  e2

  ，1）

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：把f（x）代入f（x）≥bx-2，分离参数b后构造函数g（x）=1+

1

x

-

lnx

x

，由导数求得其最小值，则b的取值范围可求．

解答： 解：由已知f（x）≥bx-2，得x-1-lnx≥bx-2，
即b≤

x+1-lnx

x

=1+

1

x

-

lnx

x

令g（x）=1+

1

x

-

lnx

x

，
则g′（x）=-

1

x2

-

1-lnx

x2

=

lnx-2

x2

．
当x∈（0，e²]时，g′（x）＜0，当x∈[e²，+∞）时，g′（x）＞0，
g（x）在（0，e²]上递减，在[e²，+∞）上递增，
∴g（x）_min=g（e²）=1-

1

e2

，即b≤1-

1

e2

．
故选：A．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了分离变量法求参数的取值范围，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．