Question

4．点P为△ABC平面上一点，有如下三个结论：
②若$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，则点P为△ABC的重心；
②若sinA•$\overrightarrow{PA}$+sinB$\overrightarrow{PB}$+sinC•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，则点P为△ABC的内心；
③若sin2A•$\overrightarrow{PA}$+sin2B•$\overrightarrow{PB}$+sin2C•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，则点P为△ABC的外心．
回答以下两个小问：
（1）请你从以下四个选项中分别选出一项，填在相应的横线上．
A．重心  B．外心  C．内心  D．重心
（2）请你证明结论②

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的线性运算性质，结合三角形的重心、内心和外心的几何性质，即可得出点P是三角形的四心中的哪一个；
（2）根据正弦定理与平面向量的线性运算性质，结合三角形内心的几何性质，即可得出结论．

解答 解：（1）①当$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$时，点P为△ABC的重心；
②当sinA•$\overrightarrow{PA}$+sinB$\overrightarrow{PB}$+sinC•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$时，点P为△ABC的内心；
③当sin2A•$\overrightarrow{PA}$+sin2B•$\overrightarrow{PB}$+sin2C•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$时，点P为△ABC的外心；
故答案为：重心，内心，外心；
（2）sinA•$\overrightarrow{PA}$+sinB•$\overrightarrow{PB}$+sinC•$\overrightarrow{PC}$=0，
由正弦定理得a•$\overrightarrow{PA}$+b•$\overrightarrow{PB}$+c•$\overrightarrow{PC}$=0，
即a•$\overrightarrow{PA}$=-b•（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{AB}$）-c•（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{AC}$），
所以（a+b+c）•$\overrightarrow{PA}$=-b•$\overrightarrow{AB}$-c•$\overrightarrow{AC}$
=-bc•$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$-bc•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，
所以$\overrightarrow{PA}$=-$\frac{bc}{a+b+c}$（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），
所以点P在∠A平分线上，
同理，可证P在∠B平分线上，
即P为△ABC的内心．

点评 本题考查了平面向量的线性运算与应用问题，也考查了变形、转化、推理论证能力．