Question

19．设n=$\int_0^{\frac{π}{2}}{\;}$6sinxdx，则二项式${（x-\frac{2}{x^2}）^n}$展开式中，x^-3项的系数为-160．

Answer 1

分析 n=$\int_0^{\frac{π}{2}}{\;}$6sinxdx=-6cos$x{|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=6．再利用二项式$（x-\frac{2}{{x}^{2}}）^{6}$展开式中展开式中的通项公式即可得出．

解答 解：n=$\int_0^{\frac{π}{2}}{\;}$6sinxdx=-6cos$x{|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=6．
则二项式$（x-\frac{2}{{x}^{2}}）^{6}$展开式中的通项公式为：T_r+1=${∁}_{6}^{r}{x}^{6-r}（-\frac{2}{{x}^{2}}）^{r}$=（-2）^r${∁}_{6}^{r}$x^6-3r，
令6-3r=-3，解得r=3．
x^-3项的系数为$（-2）^{3}{∁}_{6}^{3}$=-160．
故答案为：-160．

点评 本题考查了微积分基本定理、二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．